Vektor Matematika

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Gagasan penggunaan pasangan bilangan untuk meletakkan titik-titik pada dan penggunaan tripec bilangan untuk meletakkan titik-titik di ruang 3 mula-mula diungkapkan secara jelas dalam pertengahan abad ke 17 menjelang akhir abad ke 19 para ahli matematika dan ahli fisika mulai menyadari bahwa tidak perlu diberhenti dengan tripec. Pada waktu itu dikenal bahwa kuadrupel bilangan (a1, a2, a3, a4) dapat ditinjau sebagai titik pada ruang ‘berdemensi’ (a1, a2, …….a5) sebagai titik diruang 3, namun kita mungkin memperluas gagasan yang dikenal hingga melebihi ruang 3 dengan bekerja bagi sifat analetik atau sifat numeris titik dan  vektor serta bukan bekerja dengan sifat geometrik. 

B.     Tujuan

Adapun tujuan yaitu :

-          Untuk mengetahui subruang pada vektor

-          Mengetahui kebebasan linear pada vektor

-          Mengetahui basis dan dimensi pada vektor

-          Mengetahui baris dan kolom matriks, rank, penerapan terhadap pencarian basis.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Subruang

Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan subruang (subspace) V jika W itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang vektor V, maka W adalah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku

1)      Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u + v terletak di W

2)      Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor pada W, ku berada di W

Kondisi-kondisi (1) dan (2) sering kita jelaskan dengan menyatakan bahwa W tertutup dibawah penambahan dan tertutup di bawah perkalian skalar. Bukti jika W adalah subruang dari V, maka semua aksioma ruang vektor dipenuhi; khususnya Aksioma 1 dan Aksioma 6 berlaku. Tetapi dalam hal ini persis merupakan kondisi (1) dan kondisi (2).

Setiap ruang vektor pada V mempunyai paling sedikit dua subruang. V sendiri adalah sebuah subruang, dan himpunan {0} yang terdiri dari  vektor nol saja pada V yang merupakan sebuah subruang yang kitanamakan subruang nol (zero subspace).

Contoh :

Misalkan W sebarang bidang yang melalui titik asal dan misalkan u serta V sebarang vektor pada W. maka u + v harus terletak pada W karena u + v adalah diagonal jajaran genjang yang ditentukan oleh u dan v (gambar 1) dan k u harus terletak pada W untuk sebarang skalar k karena ku terletak pada garis yang melalui u. jadi W adalah subruang dari R³.

 

Contoh

Perlihatkan bahwa himpunan W dari semua matriks 2 x 2 yang mempunyai bilangan nol pada diagonal utamanya adalah subruang dari ruang vektor M₂₂ dari semua matriks 2 x 2

Pemecahan.

Adalah seberang dua matriks pada W dan K adalah sebarang skalar. Maka

Oleh karena kA dan A + B mempunyai bilangan nol pada diagonal utama, maka kA dan A + B terletak pada W. Jadi, W  adalah subruang dari M₂₂.

Contoh

Vektor-vektor i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1) merentang R³ karena setiap vektor (a, b, c) pada R³ dapat kita tuliskan sebagai :

(a, b, c) = ai + bj + ck

Teorema jika v1, v2, ……….vr adalah vektor–vektor pada ruang vektor V, maka:

(1)      Himpunan W dari semua kombinasi linear v1, v2, …….vr adalah subruang V

(2)      W adalah subruang terkecil dari V yang mengandung v1, v2, …….vr, adalah arti bahwa setiap subruang lain dari V yang mengandung v1, v2,…….,vr harus mengandung W

Kombinasi linear vi, v2, ……..vr, maka kita dapatkan subruang V. subruang tersebut kita namakan ruang linear terentang oleh {v1, v2, …….vr}, atau dengan lebih sederhana kita namakan ruang terentang oleh {v1, v2,…….vr}

Bukti

(a)      Untuk memperlihatkan bahwa W adalah subruang V, kita harus membuktikan bahwa W tertutup dibawah penambahan dan perkalian skalar. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka

u = c₁v₁ + c₂v₂ + …………… + c_rv_r

dimana c1, c2, …….cr, k1, k2,…………kr adalah skalar. Maka,

u + v  = (c₁k₁)v₁ + (c₂ + k₂)v₂ + …………… + (c_r+k_r)v_r

dan, untuk sebarang skalar k,

ku = (kc₁) v₁ + (kc₂) v₂ + ………..+ (kc_r) v_r 

jadi u + v dan ku adalah kombinasi-kombinasi linear v₁,  v₂, ……… v_r, dan sebagai konsekuensinya maka u + v dan ku terletak di W sehingga W tertutup di bawah penambahan dan perkalian skalar.

(b)      Setiap vektor vi adalah kombinasi-kombinasi v1, v2, ……..vr, karenanya dapat kita tulis

vi = 0v₁+0v₂ + ………..+ 1v_i + …………..0v_r 

oleh karena itu, subruang w mengandung setiap vektor v1, v2, …….vr misalkan W¹ adalah sebarang subruang lain yang mengandung v1, v2, …….vr. karena W^-1 tertutup di bawah penambahan dan perkalian skalar, maka W^-1 harus mengundang semua kombinasi linear.

c₁v₁  + c₂v₂  dari v₁,v₂……,v_r

jadi, W¹ mengandung setiap vektor W.

B.     Kebebasan Linear

Ketahui bahwa ruang vektor V direntang oleh himpunan vektor     S = [v₁, v₂……..vr] jika setiap vektor pada V adalah kombinasi linear, v₁, v₂……..vr. dengan merentang himpunan tersebut akan berguna dalam berbagai soal, karena mungkin kita sering menelaah ruang vektor V dengan menelaah terlebih dahulu vektor-vektor dengan merentang himpunan S. dan kemudian dengan memperluas hasil-hasil tersebut pada bagian selebihnya dari V. maka, kita perlu mempertahankan perentangan himpunan S sekecil mungkin. Permasalahan untuk mendapatkan peretangan himpunan terkecil untuk ruang vektor bergantung pada pengertian kita mengenai kebebasan linear.

Definisi. Jika S = {v₁, v₂……..vr} adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor.

k₁v₁ + k₂v₂ + …………..k_rv_r = 0

Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni

k₁ = 0, k₂ = 0, ………….k_r = 0

jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S kita namakan himpunan bebas linear (linearly independent). Jika ada pemecahan lain, maka S kita namakan himpunan tak bebas linear (linearly dependent).

Contoh :

Tinjaulah vektor-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1) pada R³ ruas komponen persamaan vektor

K_ii +  ₁ + k₂v₂ + ………..k_rv_r = 0

Menjadi

k₁ = (1, 0, 0), + k₂ (0, 1, 0) + k₃(0, 0, 1) = (0, 0, 0)

 atau secara ekivalen menjadi

(k₁, k₂, k₃) = (0, 0, 0)

Jadi, k₁ = 0, k₂ = 0, k₃ =0; sehingga himpunan S = (i, j, k) bebas linear. Uraian serupa dapat digunakan untuk memperlihatkan bahwa vektor-vektor e₁ = (1, 0, 0,……..0), e₂ = (0, 1, 0, …..0),…….,c_n = (0, 0, 0,……..1) membentuk himpunan bebas linear pada Rⁿ.

Teorema 6. Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah

(a)    Tak bebas linear jika dan hanya paling tidak satu diantara vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor S lainnya

(b)   Bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi  dalam linear dalam vektor S lainnya .  

Teorema 27

(a)        Jika sebuah himpunan mengandung vektor nol, maka himpunan itu takbebas linear

(b)        Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor tak bebas jika bebas satu dari vektor itu adalah perkalian dari skalar lainnya.

Contoh 27.

Dalam R² atau R³ satu vektor adalah kelipatan skalar dari vektor lainnya jika hanya jika kedua vektor yang terletak pada garis yang sama yang melalui titik asal ditempatkan pada titik awalnya melalui titik asal. Jadi, berikutnya dari bagian (b) dari teorema 7 bahwa dalam R² dan R³ dua vektor yang berbentuk himpunan tak bebas linear adalah jika dan hanya jika vektor itu terletak pada garis  yang sama melalui titik asal yang ditempatkan pada titik awalnya melalui titik asal itu sendiri.

 

Teorema 8. misalkan S = {v₁, v₂, ……….vr) adalah himpunan vektor-vektor pada Rⁿ jika r > n, maka S tak bebas linear.

Bukti.

v₁ = (v₁₁, v₁₂, ……….v_1n)

v₂ = (v₂₁, v₂₂, ……….v_2n)

v_r = (v_r1, v_r2, ……….v_rn)

tinjaulah persamaan

k_iv₁ + k₂v₂ + ………..k_rv_r = 0

C.    Basis dan Dimensi

Definisi. Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {V₁, V_2,.....V_r} merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S kita namakan basis untuk V jika

(i)      S bebes linear;

(ii)   S merentang  V

Contoh 32

Misalkan

Himpunan S = {M_1, M_2, M_3, M₄} adalah sebuah basis untuk ruang vektor M₂₂ dari matriks-matriks 2x2. Untuk melihat bahwa S merentang M_22, perhatikan bahwa sebuah vektor khas (matriks).

Dapat ditulis sebagai

= aM₁ + bM₂ + cM₃ + dM₄ 

Untuk melihat bahwa S bebas linear, anggaplah bahwa

aM₁ + bM₂ + cM₃ + dM₄ = 0

yakni

Jadi, a = b = c = d = 0 sehingga S bebas linear.D

Definisi. Sebuah ruang vektor taknol V dinamakan berdimensi berhingga (finite dimensional) jika ruang fektor tersebut mengandung sebuah himpunan berhingga dari vektor-vektor {V_1,V_2,...V_n} yang membentuk sebuah basis. Jika tidak ada himpunan seperti itu, maka V dinamakan dimensi tak berhingga (infinite dimensional), tambahan lagi, kita akan menganggap ruang vektor nol sebagai ruang vektor berdimensi berhingga walaupun ruang vektor tersebut tidak mempunyai himpunan bebas linearm sehingga basispun tidak ada.

Teorema 9. Jika S = {V_1,V_2,….V_n} adalah basis untuk ruang vektor V, maka setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak terbebas linear

Bukti. Misalkan S= {W_1, W_2,….W_m} adalah sebarang himpunan m vektor pada V, dimana m>n. Kita ingin memperlihatkan bahwa S tak bebas linear. Karena S = {V_1,V₂….V_n} adalah sebuah basis maka setiap w dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor S, katakanlah,

w₁ = a₁₁v₁ + a₂₁v₂ +………a_n1v_n

w₁ = a₁₂v₁ + a₂₂v₂ +………a_n1v_n

w_m = a_1mv₁ + a_2mv₂ +………a_nmv_n

Untuk memperlihatkan bahwa S tak bebas linear, maka kita harus cari skalar-skalar K_1,K₂…K_m, yang tidak semuanya nol, sehingga

k₁w₁ + k₂v₂ +….………k_mw_m = 0

Teorema 10. Sebarang dua basis untuk ruang vektor berdimensi berhingga mempunyai jumlah vektor yang sama.

Bukti. Misalkan S = {V_1,V₂….V_n} dan S {W_1, W_2,….W_m} adalah dua basis untuk sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga. Karena S adalah sebuah basis dan S adalah himpunan basis linear, maka teorema 9 menunjukkan bahwa m£n. Demikian juga, karena S adalah sebuah basis dan S bebas linear, kita juga memperoleh n£m. maka m=n.

Definisi. Dimensi sebuah ruangan vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V. Tambahan lagi, kita mendefinisikan ruang vektor nol mempunyai dimensi nol.

Contoh 37

Tentukanlah basis dan dimensi untuk ruang pemecahan dari sistem homogen.

2x₁ + 2x₂  - x₃              + x₅ = 0

- x₁ - x₂ + 2x₃  -   3x₄   + x₅ = 0

x₁ + x₂  - 2x₃                - x₅ = 0

              x₃  + x₄   + x₅ = 0

Pemecahan. Pada contoh

x₁ = – s – 1,  x₂ = s,    x₃ = -t,    x₄ = 0,  x₅ = t,

Sehingga vektor-vektor pemecahan tersebut dapat dituliskan sebagai

Yang memperlihatkan bahwa vektor-vektor

Teorema 11

(a)   Jika S = {V_1,V₂….V_n} adalah sebuah himpunan n vektor bebas linear pada sebuah ruang V yang berdimensi n, maka S adalah sebuah basis untuk V.

(b)   Jika S = {V_1,V₂….V_n} adalah sebuah himpunan n vektor yang merentang ruang V yang berdimensi n, maka S adalah basis untuk V

(c)    Jika S = {V_1,V₂….Vr} adalah sebuah himpunan bebas linear pada ruang V yang berdimensi n dan r < n, maka S dapat diperbesar menjadi basis untuk V, yakni vektor-vektor {V_r,1….V_n} sehingga {V_1,V₂….{V_r,V_{r +1,}…V_n} adalah sebuah basis untuk V.

D.    Ruang Baris Dan Kolom Matriks, Rank, Penerapan Terhadap Pencarian Basis

Definisi. Tinjauan matriks m x n

Vektor-vektor

Bentuk dari baris-baris A yang kita namakan vektor-vektor baris A, dan vektor-vektor

Terbentuk dari kolom-kolom A. Subruang Rⁿ yang direntang oleh vektor-vektor baris yang kita namakan ruang baris (row space) A dan Subruang R^m yang direntang oleh vektor-vektor kolom kita namakan ruang kolom (column space)A

Contoh

Misalkan

Vektor-vektor baris A adalah

r₁ = (2,1,0) dan  r₁ = (3,-1,4)

Teorema berikutnya akan membantu kita mencari basis-basis untuk ruang vektor.

Teorema 12. operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks

Jelaslah bahwa dari teorema ini bahwa sebuah matriks dan semua bentuk eselon barisnya mempunyai ruang baris yang sama. Akan tetapi, vektor-vektor baris taknol dari matriks berbentuk eselon baris selalu bebas linear. Sehingga vektor-vektor baris taknol ini membentuk basis untuk ruang baris tersebut. Jadi, kita peroleh hasil berikut.

Teorema 13. Vektor-vektor baris taknol berbentuk eselon baris dari matriks A membentuk basis untuk ruang baris A.

Contoh 40

Carilah sebuah basis untuk ruang yang direntang oleh vektor-vektor

v₁ = (1,-2,0,0,3,),  v₂ = (2,-5,-3,-2,6) v₃ = (0,5,15,10,0)

v₄ = (2,6,18,8,6)

Pemecahan. Ruang yang direntang oleh vektor-vektor ini adalah ruang baris dari matriks

Dengan meredekusi matriks ini menjadi bentuk eselon baris, kita dapatkan (buktikan):

Vektor-vektor baris taknol pada matriks ini adalah

w₁ = (1,-2,0,0,3),  w₂ = (0,1,3,2,0) w₃ = (0,0,1,1,0)

Vektor-vektor ini membentuk basis bagi ruang baris tersebut dan sebagai konsekuensinya maka akan membentuk basis untuk ruang yang direntang oleh v₁, v₂, v₃ dan v₄

Teorema 14. Jika A adalah  sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom A mempunyai dimensi yang sama.

Contoh

Mempunyai ruang kolom berdimensi dua. Jadi teorema 14  menyatakan bahwa ruang baris tersebut juga berdimensi dua. Untuk melihat bahwa kasusnya memang demikian, maka kita reduksi A terhadap bentuk eselon baris, yang menghasilkan (buktikan).

Karena matriks ini mempunyai dua baris taknol, maka ruang baris A berdimensi dua. Definisi. Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan rank A dan ditanyakan dengan rank (A)

Teorema

Jika A adalah matriks n x n, maka pertanyaan-pertanyaan berikut ekivalen satu sama lain.

(a)   A dapat dibalik

(b)   Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial

(c)    A ekivalen baris dengan I_n

(d)  Ax = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berukuran n x 1

(e)   Det (A) ¹ 0

(f)     A mempunyai rank n

(g)   Vektor-vektor baris A bebas linear

(h)   Vektor-vektor kolom A bebas linear

Bukti. Kita akan perlihatkan bahwa (c), (f), (g) dan (h) ekivalen satu sama lain membuktikan urutan implikasi (c) => (f) => (g) => (c). ini akan melengkapkan bukti tersebut karena kita sudah mengetahui bahwa (c) ekivalen dengan (a), (b), (d) dan (e).

(c) => (f) karena A ekivalen baris dengan I_n, dan I_n baris taknol, maka ruang baris dari A berdimensi n menurut Teorema 13. jadi, A mempunyai rank n.

(f) => (g) karena A mempunyai rank n, maka ruang baris dari A, maka jelaslah dari teorema 11 dalam bagian 4.5 bahwa vektor-vektor baris A bebas linear.

(g) => (h) anggaplah vektor-vektor baris A bebas linear. Jadi, ruang baris A berdimensi n. Menurut teorema 14 maka ruang kolom. A juga berdimensi n. karena vektor-vektor kolom A merentang ruang kolom,  maka vektor-vektor kolom A bebas linear menurut teorema 11 pada bagian 4.5.

(h) => (c) anggapalah vektor-vektor kolom A bebas linear. Jadi, ruang kolom A berdimensi n dan sebagai konsekuensinya, maka menurut Teorema 14 ruang baris A berdimensi n. ini berarti bahwa bentuk eselon baris tereduksi A mempunyai n baris taknol, yakni bahwa semua barisnya taknol. Seperti yang disajikan pada contoh 24 bagian 2.3 maka ini berarti bahwa bentuk eselon baris tereduksi A adalah I­_n. jadi, A ekivalen baris  dengan In.

Teorema 16. Sebuah sistem persamaan linear Ax = b adalah konsisten jika dan hanya jika b berada pada ruang kolom A

Contoh 44.

Misalkan Ax = b adalah sistem linear

Pecahkan sistem tersebut dan gunakan hasil untuk menyatakan b sebagai kombinasi linear dari vektor kolom A.

Pemecahan. Dengan memecahkan sistem menggunakan eliminasi Gauss akan menghasilkan ( buktikan ):

x₁ = 2    x₂ = 1    x₃ = 3

Jadi, dari persamaan ( 4. 16,

Teorema 18 jika Ax= b adalah sistem linear konsisten dari m persamaan n bilangan tak diketahui dan A mempunyai rank r, maka pemecahan sistem tersebut mengandung n-r parameter.

Jika A adalah mertiks 5x7 dengan rank 4, dan jika Ax=b adalah sistem linear konsisten maka pemecahan tersebut mengandung sistem 7-4=3 parameter.

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari pembahasan ini adalah :

1.      Subhimpunan w dari sebuah ruang vektor dinamakan subruang (subspace) v jika w itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada v

2.      Kebebasan linear jika s (v1, v2, ….v5) adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor k_iv₁ + k_iv₂ + ……… + k_rv_r = 0  

Mempunyai paling sedikit satu pemecahan yakni :

K_i = 0,  K₂ = 0,  K_r = 0

Jika ini adalah satu-satunya pemecahan maka, s kita namakan himpunan bebas linear (linearly independent). Jika ada pemecahan lain maka S kita namakan himpunan tak bebas linear (linearly dependent)

3.      Ke basis dan dimensi dimana jika v adalah sebarang ruang vektor dan s = (v1, v2………vr) merupakan himpunan sehingga dari vektor-vektor pada v maka s dinamakan basis untuk v jika:

(i)      S bebas linear

(ii)    S merentang v

4.      Ruang garis dan kolom matriks, rank, penerapan terhadap pemecahan basis

Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan rank A dan dinyatakan dengan rank (A)